三、統(tǒng)計量與抽樣分布

　　樣本來自總體，因此樣本中包含了有關總體的豐富信息，但是這些信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來反映總體的特征，我們取得樣本之后，并不是直接利用樣本進行推斷，而需要對樣本進行一番“加工”和“提煉”，把樣本中所包含的有關信息盡可能地集中起來，種有效的辦法就是針對不同的問題，構造出樣本的某種函數，這就是統(tǒng)計量。不同的函數可以反映總體的不同的特征。

　　1.統(tǒng)計量

　　把不含未知參數的樣本函數稱為統(tǒng)計量。一個統(tǒng)計量也是一個隨機變量。

　　定義：設（X1，X2，…，Xn）為取自總體X的一個樣本，g（X1，X2，…，Xn）為一個連續(xù)函數，如果這個函數中不包含任何未知參數，則稱g（X1，X2，…，Xn）為一個統(tǒng)計量。

　　例如，設X～N（m ，s 2），其中m 已知，s 2未知，（X1，X2，…，Xn）為取自X的樣本，則 是統(tǒng)計量， ——不是統(tǒng)計量。

　　統(tǒng)計量是樣本的函數，因而統(tǒng)計量是隨機變量。

　　由統(tǒng)計量進行推斷，便可獲得對總體的認識，統(tǒng)計推斷是數理統(tǒng)計的核心內容。

　　2.抽樣分布

　　統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。

　　3.常用統(tǒng)計量

　　常用統(tǒng)計量可分為兩類，一類用來描述樣本的中心位置，另一類用來描述樣本的分散程度。為此先介紹有序樣本的概念，再引入幾個常用統(tǒng)計量。

　　有序樣本

　　設是從總體X中隨機抽取的樣本，樣本量為n，將它們的觀測值從小到大排列為： ，這便是有序樣本。其中 是樣本中的最小觀測值， 是樣本中的最大觀測值。

　�。�1）描述樣本的中心位置的統(tǒng)計量

　　總體中每一個個體的取值盡管是有差異的，但是總有一個中心位置，如樣本均值、樣本中位數等。描述樣本中心位置的統(tǒng)計量反映了總體的中心位置，常用的有以下幾種：

　　①樣本均值

　　樣本觀測值有大有小，樣本均值大致處于樣本的中間位置，它可以反映總體分布的均值。

　　②樣本中位數

　　中位數有時也記為Me.

　�。�2）描述樣本數據分散程度的統(tǒng)計量

　　總體中各個個體的取值總是有差別的，因此樣本的觀測值也是有差異的，這種差異有大有小，反映樣本數據的分散程度的統(tǒng)計量實際上反映了總體取值的分散程度，常用的有如下幾種：

　�、贅颖緲O差：

　　例10.數據為 ，樣本觀測值為：140，150，155，130，145，那么將它們從小到大排序后為：130，140，145，150，155

　　解析：最小值為130，最大值為155，因此樣本極差R=155-130=25

　�、跇颖痉讲睿�

　　同樣，對分組數據來講，樣本方差的近似值為：

　　其中 表示第i組的組中值。

　　樣本極差的計算十分簡便，但對樣本中的信息利用得也較少，而樣本方差就能充分利用樣本中的信息，因此在實際中樣本方差比樣本極差用得更廣。

　　③樣本標準差：

　　樣本標準差的意義：

　　樣本方差盡管對數據的利用是充分的，但是方差的量綱（即數據的單位）是原始量綱的平方，例如樣本觀測值是長度，單位是“毫米”，而方差的單位是“平方毫米”，單位不同就不便于比較，而采用樣本標準差就消除了單位的差異。